# Розділ 2. Правила та аксіоматика

У цьому розділі ми дамо формальне визначення гри **Aether Neutral 4×4**, спираючись на аксіоматичний підхід, що дозволяє надалі будувати суворі математичні твердження. Правила викладено в термінах, які будуть використані в усій подальшій частині компендіуму; нотацію для запису ходів детально описано в розділі 3.

## 2.1. Формальне визначення гри

**Означення 2.1 (Гра)**. Гра Aether Neutral 4×4 – це скінченна детермінована гра з повною інформацією для двох гравців, яка визначається такими компонентами:

1. **Дошка** – множина клітинок\
   C = { (x, y) | x, y in {0,1,2,3} }\
   з топологією тора: координати розглядаються за модулем 4.
2. **Типи** – множина\
   T = {0,1,2,3}.\
   Кожна фігура характеризується **маскою** – підмножиною M ⊆ T, M ≠ ∅. Усього існує 2^4 - 1 = 15 можливих масок.
3. **Початкова конфігурація** – розподіл фігур за клітинками: кожна клітинка містить рівно одну фігуру, і маска фігури в клітинці (x,y) дорівнює\
   mask(x,y) = { (x+y) mod 4 }.\
   Тобто спочатку всі фігури мають вагу 1.
4. **Хід** – гравець обирає фігуру в довільній клітинці та переміщує її на одну з 8 клітинок, доступних ходом коня (див. означення 2.3). Якщо цільова клітинка порожня, фігура просто змінює місце розташування. Якщо цільова клітинка зайнята, відбувається **злиття**: обидві фігури замінюються однією, маска якої дорівнює об’єднанню їхніх масок (побітове OR).
5. **Перемога** – гра негайно завершується, якщо після ходу будь-якої фігури її маска стає повною:\
   M = T = {0,1,2,3}.\
   Гравець, який зробив цей хід, оголошується переможцем.
6. **Завершення гри** – якщо протягом 50 послідовних ходів не відбулося жодного злиття (тобто кількість фігур на дошці не зменшувалася), фіксується нічия.

## 2.2. Аксіоматика

Для подальшого математичного аналізу сформулюємо аксіоми, які визначають гру.

**Аксіома 1 (Скінченність)**. У кожній позиції існує лише скінченна кількість можливих ходів (не більше 16 × 4 = 64). Гра не може тривати нескінченно через правило 50 ходів.

**Аксіома 2 (Детермінованість)**. Результат кожного ходу (нова позиція) визначається однозначно вибором фігури та напрямку переміщення.

**Аксіома 3 (Повна інформація)**. Обидва гравці бачать усю дошку та історію ходів.

**Аксіома 4 (Симетрія)**. Правила гри інваріантні відносно довільних трансляцій на торі та віддзеркалень дошки. Тому початкова позиція симетрична.

**Аксіома 5 (Монотонність кількості фігур)**. Кількість фігур на дошці може тільки зменшуватися (при злитті) або залишатися незмінною (при переміщенні на порожню клітинку). Вона ніколи не збільшується.

**Аксіома 6 (Збереження загальної кількості кожного типу)**. Сумарна кількість типів (з урахуванням кратності) на дошці є інваріантом. Початково кожен тип зустрічається 4 рази. При злитті спільні типи враховуються один раз, тому сума зменшується на кількість спільних типів.

**Аксіома 7 (Відсутність пату)**. У будь-якій позиції, де гра не закінчилася, існує хоча б один законний хід. (Доведення див. розділ 6.)

## 2.3. Опис ходів

**Означення 2.2 (Хід коня)**. Ходом коня з клітинки (x1, y1) називається переміщення до клітинки (x2, y2), де\
( |x1 - x2|, |y1 - y2| ) in { (2,1), (1,2) },\
і різниці обчислюються за модулем 4 (тобто з урахуванням топології тора).

**Означення 2.3 (Доступні ходи)**. З клітинки (x,y) існує рівно 4 клітинки, досяжних ходом коня (через відсутність країв та збіг векторів за модулем 4). Детальний перелік наведено в розділі 4.

**Означення 2.4 (Переміщення)**. Якщо гравець обирає фігуру в клітинці A і переміщує її в клітинку B ходом коня, то:

* якщо B порожня, фігура займає B, а A стає порожньою;
* якщо B містить фігуру з маскою M\_B, то фігура в B замінюється на фігуру з маскою M\_A ∪ M\_B, а клітинка A стає порожньою (злиття).

Усі інші фігури залишаються без змін.

**Означення 2.5 (Перемога)**. Гра завершується негайно, якщо після виконання ходу в будь-якій клітинці з’являється маска T = {0,1,2,3}. Гравець, який зробив цей хід, виграє.

## 2.4. Правило 50 ходів та завершення гри

**Означення 2.6 (Лічильник ходів без злиття)**. Нехай c – кількість послідовних ходів, під час яких не відбулося жодного злиття (тобто кількість фігур на дошці не зменшувалася). Кожен хід, що не є злиттям, збільшує c на 1; кожне злиття скидає c до 0.

**Правило 2.1 (Нічия)**. Якщо після будь-якого ходу c = 50, гра негайно завершується нічиєю.

Зауважимо, що правило 50 ходів є необхідним для запобігання нескінченним серіям переміщень, які не змінюють кількість фігур. У розділі 6 ми доведемо, що без цього правила існували б цикли, що дозволяють затягувати гру необмежено.

## 2.5. Теорема про відсутність пату

**Теорема 2.1 (Відсутність пату)**. У будь-якій позиції, де гра ще не закінчилася (немає фігури з маскою T), існує хоча б один законний хід.

*Доведення (схема)*. Розглянемо два випадки:

1. На дошці є хоча б одна порожня клітинка. Тоді будь-яка фігура має 8 потенційних цілей ходом коня. Якщо хоча б одна з цих цілей порожня, це дає законне переміщення. Якщо всі 8 цілей зайняті, то будь-який з цих ходів є злиттям, що також законно. Отже, при наявності порожньої клітинки завжди є хід.
2. На дошці немає порожніх клітинок (усі 16 зайняті). Тоді всі ходи є злиттями. Чи можлива ситуація, коли жодна пара фігур на відстані ходу коня не має спільних типів? Якби це було так, то жодне злиття не було б можливим. Проте можна показати (див. розділ 6), що на графі ходу коня на торі 4×4 така конфігурація неможлива, оскільки будь-яка фігура ваги 1 завжди має сусіда з тим самим типом? Строге доведення ґрунтується на тому, що кожна клітинка має 8 сусідів, а загальна кількість кожного типу дорівнює 4; за принципом Діріхле знайдуться дві клітинки з однаковим типом на відстані 1 або 2, і за допомогою ходу коня можна злити їх. Детальне доведення наведено в розділі 6.

Таким чином, завжди існує принаймні один законний хід. ∎

## 2.6. Зв’язок із турнірними правилами

Офіційні турнірні правила для формату 5×5 є прямим узагальненням наведених тут аксіом на випадок 5 типів та 25 клітинок. Для варіанту 4×4 правила ідентичні, за винятком розміру дошки та кількості типів. У розділі 16 ми обговоримо масштабування стратегій з 4×4 на 5×5.

## 2.7. Висновки

У цьому розділі ми:

* дали формальне визначення гри Aether Neutral 4×4;
* сформулювали аксіоми, які визначають її математичну структуру;
* описали правила ходів, злиття та завершення гри;
* навели теорему про відсутність пату (доведення в розділі 6).

Наступний розділ буде присвячено уніфікованій нотації для запису партій та позицій, яка використовуватиметься в усіх наступних прикладах та аналізі.

***


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://nautilus-3.gitbook.io/subit64/aether-tour/docs/compedium/02_rules_and_axioms.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.