# Розділ 5. Теорія фігур

Фігури є центральним об’єктом гри. Кожна фігура характеризується **маскою** – підмножиною множини типів {0,1,2,3}. У цьому розділі ми розвинемо алгебраїчну теорію таких об’єктів, дослідимо операцію злиття, введемо поняття ваги та ентропії, а також обґрунтуємо вибір саме чотирьох типів з погляду комбінаторної повноти та естетики.

## 5.1. Бітове представлення

Нехай T = {0,1,2,3} – множина типів. Кожній фігурі відповідає **маска** – підмножина M ⊆ T, M ≠ ∅. Зручно кодувати маску 4-бітовим числом, де i-й біт (з нуля) дорівнює 1, якщо тип i ∈ M.

**Позначення**: біти нумеруються від молодшого до старшого: біт 0 – тип 0, біт 1 – тип 1, біт 2 – тип 2, біт 3 – тип 3.

**Приклади**:

* Тип 0 → 0001₂ (1)
* Тип 1 → 0010₂ (2)
* Тип 2 → 0100₂ (4)
* Тип 3 → 1000₂ (8)
* Типи {0,2} → 0101₂ (5)
* Усі типи {0,1,2,3} → 1111₂ (15)

У тексті ми будемо використовувати скорочене позначення у квадратних дужках: `[0]`, `[13]`, `[012]`, `[∗]` або `[0123]`.

**Множина всіх можливих масок**:\
M = { m ∈ {0,1,…,15} | m ≠ 0 } – 15 значень.

## 5.2. Операція злиття

Злиття двох фігур з масками a та b дає нову фігуру з маскою c = a | b (побітове OR). Ця операція має такі властивості:

* **Комутативність**: a | b = b | a
* **Асоціативність**: (a | b) | c = a | (b | c)
* **Ідемпотентність**: a | a = a
* **Монотонність**: якщо a ⊆ b (у сенсі включення множин), то a | b = b

**Означення 5.1 (Вага)**. Вага фігури w(a) – це кількість одиничних бітів у масці (кількість типів). Наприклад, w(0b0101)=2, w(0b1111)=4.

**Лема 5.1 (Приріст ваги)**. При злитті a та b вага нової фігури дорівнює\
w(a | b) = w(a) + w(b) - w(a & b),\
де & – побітове AND. Приріст відносно a дорівнює w(b) - w(a & b).

**Доведення**. Одиничні біти в a|b – це біти, які є в a або в b. Їх кількість = |a| + |b| - |a∩b|. ∎

**Слідство**. Злиття є корисним лише тоді, коли a & b ≠ b (тобто b має типи, яких немає в a). Якщо a ⊆ b, то a | b = b, і злиття не змінює маску (марне злиття, хоча зменшує кількість фігур).

## 5.3. Частковий порядок

На множині масок введемо відношення часткового порядку:\
a ≤ b ⇔ (a & b) = a (тобто a ⊆ b як множини).

Це відношення рефлексивне, антисиметричне та транзитивне. Найменшим елементом є маски ваги 1 (одиничні типи), найбільшим – маска 15 (всі типи).

**Діаграма Хассе** (спрощено):

* Рівень 1: 1,2,4,8
* Рівень 2: 3,5,6,9,10,12 (пари)
* Рівень 3: 7,11,13,14 (трійки)
* Рівень 4: 15

Цей порядок використовується при аналізі можливих ланцюжків злиттів.

## 5.4. Ентропія фігури

Для оцінки «складності» фігури можна використовувати інформаційну ентропію. Якщо вважати, що всі типи рівноймовірні, то фігура з вагою w містить інформацію, пропорційну логарифму кількості способів вибрати w типів з 4: C(4,w). Проте в контексті гри важливіша **потенційна цінність**: фігура з вагою 3 є «передпереможною», а з вагою 4 – переможною.

Ми вводимо **ентропію** H(m) = -∑\_{i∈T} p\_i log p\_i, де p\_i = 1, якщо тип i присутній, і 0 інакше? Така ентропія завжди 0 або ∞. Тому замість цього використовуємо просто вагу як міру складності.

## 5.5. Обґрунтування вибору 4 типів

Чому саме 4 типи, а не 3 або 5? Це рішення має кілька причин:

1. **Комбінаторна повнота**: 4 – найменша кількість, для якої можливі непорожні підмножини всіх розмірів від 1 до 4, створюючи багату структуру. 3 типи дали б лише 7 масок, що значно спрощує гру.
2. **Симетрія з топологією**: дошка 4×4 має 16 клітинок; 4 типи, кожен по 4 рази, забезпечують збалансоване початкове розташування. Кількість типів дорівнює розміру дошки за модулем? Ні, але 4 ідеально пасує до 4×4.
3. **Естетика та традиція**: чотири стихії (земля, вода, вогонь, повітря) або чотири пори року, чотири напрямки. Це додає грі символічної глибини.
4. **Обчислювальна складність**: 4 типи дають 31 маску в 5×5, але для 4×4 маємо 15 масок – це межа, за якої повний аналіз ще потенційно можливий.

## 5.6. Таблиця злиття

Нижче наведено фрагмент таблиці злиття для всіх 15 масок (повна таблиця – у додатку A). У таблиці вказано результат a | b для кожної пари (a,b). Тут маски позначено десятковими числами (1,2,4,8,3,5,6,9,10,12,7,11,13,14,15). Порожні клітинки симетричні.

| a\b | 1 | 2 | 4 | 8  | 3  | 5  | 6  | 9  | 10 | 12 | 7  | 11 | 13 | 14 | 15 |
| --- | - | - | - | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| 1   | 1 | 3 | 5 | 9  | 3  | 5  | 7  | 9  | 11 | 13 | 7  | 11 | 13 | 15 | 15 |
| 2   |   | 2 | 6 | 10 | 3  | 7  | 6  | 11 | 10 | 14 | 7  | 11 | 15 | 14 | 15 |
| 4   |   |   | 4 | 12 | 7  | 5  | 6  | 13 | 14 | 12 | 7  | 15 | 13 | 14 | 15 |
| 8   |   |   |   | 8  | 11 | 13 | 14 | 9  | 10 | 12 | 15 | 11 | 13 | 14 | 15 |
| ... |   |   |   |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |

(Повна таблиця наведена в додатку A.)

**Примітка**. У таблиці легко помітити, що злиття будь-якої маски з маскою 15 дає 15 (переможна фігура). Це відповідає правилу перемоги.

## 5.7. Ефективні злиття

Злиття називається **ефективним**, якщо w(a | b) > max(w(a), w(b)). Інакше воно марне (хоча може бути потрібним для переміщення фігури в інше місце). Найефективніші злиття – це ті, де a & b = 0 (неперетинні множини). Тоді w(a | b) = w(a) + w(b).

**Лема 5.2 (Максимальний приріст)**. Максимальний приріст ваги при злитті з фігурою ваги w дорівнює 4 - w (якщо інша фігура містить усі відсутні типи). Це досягається, коли друга фігура має маску, що є доповненням до першої.

## 5.8. Ланцюжки злить

Послідовність злить, яка починається з одинарних фігур (вага 1) і закінчується фігурою ваги 4, утворює **ланцюжок злить**. Мінімальна довжина такого ланцюжка дорівнює 3 (наприклад, злиття \[0] з \[1] → \[01], потім з \[2] → \[012], потім з \[3] → \[0123]). Проте через позиційні обмеження на дошці реальна довжина може бути більшою.

## 5.9. Алгебра фігур як напівґратка

Множина масок з операцією OR утворює **ґратку** (з операцією AND як meet). Верхня межа – 15, нижня – відсутня (немає нуля). Ця структура дозволяє застосовувати методи теорії ґраток до аналізу ігрових позицій, наприклад, для пошуку інваріантів.

## 5.10. Висновки

У цьому розділі ми:

* ввели бітове представлення фігур;
* дослідили алгебраїчні властивості злиття (OR);
* визначили вагу та частковий порядок;
* обґрунтували вибір 4 типів;
* навели фрагмент таблиці злиття та ввели поняття ефективності;
* окреслили структуру ланцюжків злить.

Ця теорія є фундаментом для подальшого аналізу простору станів (розділ 6) та комбінаторики злиття (розділ 7).

***


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://nautilus-3.gitbook.io/subit64/aether-tour/docs/compedium/05_piece_theory.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.