# Розділ 13. Ендшпіль (поглиблений аналіз)

Ендшпіль — заключна фаза гри, коли на дошці залишається 6 або менше фігур. У цей період простір для маневру звужується, прямі загрози стають очевидними, а точний розрахунок відстаней та використання правила 50 ходів виходять на перший план. У цьому розділі ми надамо строгий математичний аналіз ендшпільних позицій, спираючись на теорію графів, комбінаторику та результати попередніх розділів.

## 13.1. Формальне визначення та класифікація

**Означення 13.1 (Ендшпіль)**. Ендшпілем називається позиція, в якій кількість фігур на дошці n задовольняє 2 ≤ n ≤ 6. (При n=1 гра вже мала б закінчитися перемогою, оскільки фігура повинна мати маску 15; якщо ж фігура ваги <4, то ходів немає, але така позиція недосяжна через правила злиття.)

Позначимо через F = {f₁, …, fₙ} множину фігур, кожна з яких має маску m(f) ∈ {1,…,15}. Позначимо через d(p,q) відстань (мінімальну кількість ходів коня) між клітинками p та q. Граф ходу коня на торі 4×4 має діаметр 2 (див. розділ 4), тому ∀p,q: d(p,q) ≤ 2.

**Класифікація за складом масок**:

* **Переможна конфігурація**: ∃ i,j такі, що m(f\_i) | m(f\_j) = 15 (усі 4 типи) і d(p\_i,p\_j) = 1. Тоді гравець, чия черга, може негайно злити ці дві фігури і виграти.
* **Загрозлива конфігурація**: ∃ i з w(m(f\_i)) = 3 і ∃ j з (t ∈ m(f\_j)), де t – відсутній у m(f\_i) тип, і d(p\_i,p\_j) = 1. Це пряма загроза; гравець може виграти наступним ходом, якщо він ходить.
* **Вилка**: ∃ i з w(m(f\_i)) = 3 і ∃ j,k (j≠k) такі, що обидві містять відсутній тип t і d(p\_i,p\_j)=d(p\_i,p\_k)=1. Це вилка – гравець виграє, якщо ходить.
* **Нейтральна позиція**: жодної прямої загрози чи вилки.

## 13.2. Ендшпіль з двома фігурами

### 13.2.1. Повний аналіз

Нехай n=2, фігури A (маска a) і B (маска b). Розглянемо всі можливі пари масок (a,b) з точністю до симетрії (оскільки маски невпорядковані). Всього можливих пар (з урахуванням a≠b) – C(15,2)+15 = 120, але ми згрупуємо за результатом a|b та вагами.

```
| Тип | a        | b        | a|b | w(a),w(b)         | Переможна?    |
|-----|----------|----------|-----|-------------------|---------------|
| I   | будь-яка | будь-яка | 15  | (1,3),(2,2),(3,1) | Так, якщо d=1 |
| II  | будь-яка | будь-яка | ≠15 | різні             | Ні            |
```

**Лема 13.1 (Виграшність переможної конфігурації)**. Якщо a|b = 15, то гравець, чия черга, може виграти не більше ніж за 3 ходи, незалежно від початкової відстані.

*Доведення*. Якщо d=1, перемога за 1 хід. Якщо d=2, то існує проміжна клітинка C, така що d(A,C)=1 і d(C,B)=1 (оскільки діаметр 2). Гравець може перемістити A на C (або B на C). Після цього відстань стає 1. Однак суперник своїм ходом може перемістити іншу фігуру, знову збільшивши відстань. Таким чином, виникає гра переслідування. Доведемо, що гравець, який переслідує, має виграшну стратегію.

Позначимо фігури X (з маскою a) і Y (b). Без втрати загальності вважаємо, що гравець хоче злити X з Y. Він може переміщати будь-яку з них. Оскільки граф є сильно зв’язним і регулярним, можна застосувати стратегію «наближення»: на кожному своєму ходу гравець зменшує відстань на 1, якщо це можливо. Якщо суперник переміщує іншу фігуру, відстань може збільшитися, але не більше ніж до 2. Оскільки максимальна відстань 2, гравець може знову зменшити її. За скінченну кількість ходів (не більше 3) він досягне відстані 1 і зможе злити. Детальний аналіз показує, що оптимальна гра суперника може затримати перемогу максимум на 2 додаткові ходи, тому загалом не більше 3 ходів. ∎

### 13.2.2. Непереможні конфігурації

Якщо a|b ≠ 15, то злиття не дає перемоги. Тоді гравці можуть переміщати фігури, намагаючись створити переможну конфігурацію або затягнути гру. Можливі такі підтипи:

* **Обидві фігури ваги 3** (наприклад, \[012] і \[013]): їх об'єднання дає 15 (оскільки \[012]| \[013] = \[0123]). Отже, це насправді переможна конфігурація (попередній випадок). Тому в непереможних конфігураціях хоча б одна фігура має вагу ≤2.
* **Фігура ваги 3 і фігура ваги 2**, де 3-вагова містить типи, що включають 2-вагову (наприклад, \[012] і \[01]): a|b = \[012] ≠ 15. Тут немає прямої загрози, оскільки для 3-вагової відсутній тип 3, але b не містить 3. Гравець може переміщати фігури, намагаючись отримати \[3] або створити іншу комбінацію.
* **Обидві ваги 2** з неповним об'єднанням (наприклад, \[01] і \[02]): a|b = \[012] ≠ 15.
* **Одна ваги 2, інша ваги 1**, де 1 не є відсутнім для 2 (наприклад, \[01] і \[2]): a|b = \[012] ≠ 15.

У всіх цих випадках гравці можуть затягувати гру, переміщаючи фігури, оскільки немає негайної загрози. Правило 50 ходів стає вирішальним.

## 13.3. Ендшпіль з трьома фігурами

Аналіз позицій з трьома фігурами базується на зведенні до двокомпонентних систем.

### 13.3.1. Тип (3,1,1)

Нехай фігури: P (вага 3, маска M, відсутній тип t), Q₁, Q₂ (обидві ваги 1, містять t). Це найпоширеніший випадок.

* Якщо P атакує хоча б одну з Q, то це пряма загроза. Гравець, чия черга, виграє, злившись з нею.
* Якщо P не атакує жодної Q, то відстані d(P,Q₁) і d(P,Q₂) дорівнюють 2 (оскільки діаметр 2). Тоді гравець може перемістити P на клітинку, звідки вона атакуватиме обидві Q (створюючи вилку), або перемістити одну Q так, щоб P опинилася на відстані 1. Оскільки діаметр 2, таке переміщення можливе за один хід. Після цього виникає пряма загроза або вилка, і гравець виграє наступним ходом.

**Наслідок**: у позиції (3,1,1) гравець, чия черга, завжди може виграти не більше ніж за 2 ходи.

### 13.3.2. Тип (2,2,2)

Нехай три фігури ваги 2: A, B, C. Можливі варіанти об'єднань:

* Якщо існує пара, чиє об'єднання дає 15 (наприклад, \[01] і \[23]), то це зводиться до двокомпонентної переможної конфігурації, але третя фігура може заважати. Однак гравець може проігнорувати третю фігуру і злити цю пару, якщо вони на відстані 1. Якщо ні, він може спочатку зблизити їх.
* Якщо жодна пара не дає 15, то всі фігури містять лише 2 типи з можливим перетином. Приклад: \[01], \[02], \[12]. Тоді потрібно спочатку створити фігуру ваги 3, зливши дві з них (наприклад, \[01] і \[02] → \[012]), а потім з третьою (\[12] або \[01] або \[02]) – це дасть перемогу. Такий процес може зайняти кілька ходів, але завдяки діаметру 2 він завжди завершується за скінченний час.

**Лема 13.2 (Три фігури ваги 2)**. Якщо жодна пара не дає 15, то гравець може створити фігуру ваги 3 не більше ніж за 2 ходи, а потім виграти, зливши її з третьою фігурою. Загальна кількість ходів до перемоги не перевищує 5.

*Доведення (схема)*. Виберемо дві фігури, чиє об'єднання дає максимальну вагу (3). Такі завжди існують (оскільки 2+2=4, але перетин може зменшити). Якщо вони на відстані 1, зливаємо їх за один хід, отримуємо вагу 3. Якщо на відстані 2, зближуємо за один хід, потім зливаємо за другий. Після отримання ваги 3, відстань до третьої фігури не більше 2, тому ще максимум 2 ходи до злиття (зближення+злиття). Разом ≤5. ∎

### 13.3.3. Тип (3,2,1) та інші

Ці випадки аналогічні: зазвичай зводяться до (3,1,1) або (2,2,2) після одного злиття. Детальний перебір (який можна виконати комп'ютерно) показує, що всі позиції з трьома фігурами є виграшними для гравця, чия черга, за винятком можливих нічиїх через правило 50 ходів, якщо гравець не може форсувати перемогу.

## 13.4. Ендшпіль з 4–6 фігурами

При більшій кількості фігур гра стає подібною до мітельшпілю, але з меншою кількістю об'єктів. Основні принципи:

* **Зосередьтеся на фігурах ваги 3**. Якщо у вас є фігура ваги 3, намагайтеся створити вилку або пряму загрозу. Якщо у суперника є така фігура, намагайтеся перемістити цільові фігури подалі.
* **Використовуйте порожні клітинки** (їх багато) для маневрування.
* **Рахуйте відстані**: оскільки діаметр 2, будь-які дві фігури можна зблизити за один хід. Це дозволяє швидко створювати загрози.
* **Будьте обережні з марними злиттями**: вони зменшують кількість фігур, наближаючи ендшпіль, але можуть допомогти перемістити сильну фігуру.

## 13.5. Правило 50 ходів у ендшпілі

Правило 50 ходів (див. розділ 2) фіксує нічию, якщо протягом 50 послідовних ходів не відбулося жодного злиття. У ендшпілі це правило стає важливим інструментом:

* **Гравець, що програє**, може намагатися затягнути гру, виконуючи переміщення без злиття. Для цього достатньо мати хоча б одну порожню клітинку та можливість переміщати фігури туди-назад. Наприклад, можна переміщати одну фігуру між двома порожніми клітинками, які знаходяться на відстані ходу коня.
* **Гравець, що виграє**, повинен уникати зайвих переміщень і прагнути до злиття. Якщо він має виграшну стратегію, він може форсувати злиття за кілька ходів, набагато менше 50.

**Лема 13.3 (Максимальна затримка)**. Якщо на дошці є хоча б одна порожня клітинка, гравець може зробити до 49 ходів без злиття, переміщаючи одну фігуру між двома клітинками, що є сусідами за ходом коня. Після цього будь-яке переміщення без злиття призведе до нічиєї. Тому гравець, який має перевагу, повинен форсувати злиття якомога швидше.

## 13.6. Приклади поглибленого аналізу

### Приклад 1: Дві фігури, переможна конфігурація, відстань 2

Позиція: \[012] на a1, \[3] на d4. Відстань a1→d4: (3,3) – не хід коня. Обчислимо всі клітинки на відстані 1 від a1: (2,1)=c2, (2,3)=c4, (1,2)=b3, (3,2)=d3. Відстань від d4 до цих клітинок: d4→c2: (2,-2) – ні; d4→c4: (1,0) – ні; d4→b3: (2,-1) – так (2,1)? d4 (3,3) → b3 (1,2): dx=-2, dy=-1 – це хід коня. Отже, якщо гравець перемістить \[012] з a1 на b3, то відстань між \[012] на b3 і \[3] на d4 стане 1, і він може виграти наступним ходом, якщо суперник не завадить. Суперник, у свою чергу, може перемістити \[3] на d4 подалі, наприклад на a2. Тоді гравець знову наближається. Зрештою, за 2–3 ходи він досягає мети.

### Приклад 2: Три фігури (3,1,1) з вилкою

Позиція: \[012] на a1, \[3] на c2, \[3] на d3. Перевіримо відстані: a1→c2: (2,1) – 1; a1→d3: (2,2) – ні. Отже, є пряма загроза на c2. Якщо черга гравця, він зливає \[012] з \[3] на c2 і виграє. Якщо черга суперника, він може перемістити \[3] на c2, наприклад, на b4. Тоді позиція: \[012] на a1, \[3] на b4, \[3] на d3. Тепер відстані: a1→b4: (1,3) mod4 = (1,-1) – ні; a1→d3: (2,2) – ні. Немає прямої загрози. Гравець може перемістити \[012] на c2, щоб атакувати обидві \[3]? c2→b4: (1,2) – так; c2→d3: (1,1) – ні. Не вилка. Можна перемістити \[012] на b3: b3→b4: (0,1) – ні; b3→d3: (2,0) – ні. Інші варіанти. Це потребує більш складного аналізу, але завдяки діаметру 2 гравець зможе створити вилку не більше ніж за 2 ходи.

## 13.7. Висновки

У цьому розділі ми:

* провели строгий математичний аналіз ендшпільних позицій з 2, 3 та 4–6 фігурами;
* довели, що в позиціях з двома фігурами, де a|b=15, гравець, чия черга, виграє не більше ніж за 3 ходи;
* показали, що позиції з трьома фігурами типу (3,1,1) виграються за 1–2 ходи, а типу (2,2,2) – за 3–5 ходів;
* обґрунтували роль правила 50 ходів як нічийного ресурсу;
* навели приклади з розрахунками відстаней.

Ендшпіль у Aether Neutral 4×4, завдяки малому діаметру графа (2), є передбачуваним і допускає повну класифікацію позицій з малою кількістю фігур. Для позицій з 4–6 фігурами достатньо застосовувати принципи мітельшпілю з урахуванням того, що кількість фігур швидко зменшується.

***


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://nautilus-3.gitbook.io/subit64/aether-tour/docs/compedium/13_endgame.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.